ベクトルVector

順序が決まった数字の並びです

ベクトルを見るとき人が真っ先に見落とすのが順序です。値が三つあるなら、それは適当な数字三つではなく一番目の項目の値、二番目の項目の値、三番目の項目の値です。場所を入れ替えると、まったく別のものを指してしまいます。

この決まりのおかげで計算がとても単純になります。二つのベクトルを足すには、一番目どうし、二番目どうしを足すだけで済みます。コンピューターがこの計算を一度に何千個もこなせるのも、場所がきちんとそろっているからです。

項目の数がそのまま次元です

項目が二つなら紙の上の点一つで描けます。三つなら部屋の中の一点です。項目が四つを超えると絵には描けませんが、計算は同じようにできます。人の目で見られないだけで、数学が止まるわけではありません。

AIが使うベクトルはふつう数百から数千の項目を持ちます。項目が多いほど細かな違いまで含められますが、保存する場所と計算量が一緒に増えます。そのため用途に応じて項目数を減らした軽いベクトルを別に作って使うこともあります。

足したり引いたりすると向きが生まれます

ベクトルは点であると同時に向きでもあります。原点からその点まで矢印を引くと、向きと長さが出るからです。二つのベクトルを足すと矢印をつなぎ合わせた先に届き、引くと一方の点からもう一方への向きが出ます。

この性質はAIで大きく使われます。意味を含んだベクトルどうしを引くと「この二つの間の関係」に当たる向きが出て、その向きを別のベクトルに足すと似た関係にある位置に届きます。国名から首都へ向かう向きがいくつもの国で似た形で表れるという観察はここから来ています。

似ている度合いは角度で測ります

二つのベクトルがどれくらい似ているかを見るときは、距離より向きを主に見ます。原点から伸びる二本の矢印がなす角が狭ければ似ていると見なし、開いていれば違うと見なします。

なぜ長さではなく角度なのでしょうか。同じ話を長く書いた文章と短く書いた文章は矢印の長さが違いますが、指す向きは似ているからです。向きだけを見れば分量の違いに左右されず、内容の似ている度合いをつかめます。

モデルの中ではすべてがベクトルです

モデルは文字も画像も直接扱えません。断片に切られた文章は埋め込みを通ってベクトルになり、写真は明るさの値が並んだベクトルになり、音は時間ごとの強さの値のベクトルになります。

層を一つ通るたびにこのベクトルは別のベクトルに変わります。モデルがしていることは結局、ベクトルを受け取って別のベクトルに変える作業の連続です。私たちの目に見える文字は、最後にもう一度人の側へ戻された結果にすぎません。

途中で扱うベクトルの中身を人が覗いても、何が書かれているかは読み取れません。数字が並んでいるだけで、意味は他のベクトルとの位置関係にしか宿らないからです。